Остроградский Михаил Васильевич
[12(24).9.1801, дер. Пашенная, ныне Полтавской обл.,-20.12.1861 (1.1.1862), Полтава]

русский математик, академик Петербургской АН (1830). Учился в Харьковском университете (1816-20), а затем слушал в Париже (1822-28) лекции О. Коши, П. Лапласа, Ж. Фурье. Профессор офицерских классов Морского кадетского корпуса (с 1828), Института корпуса инженеров путей сообщения (с 1830), Главного педагогического института (с 1832), Главного инженерного училища (с 1840), Главного артиллерийского училища (с 1841) в Петербурге. Основные работы относятся к математич. анализу, теоретической механике, математической физике; известен также работами по теории чисел, алгебре, теории вероятностей. Остроградский решил (1826) важную задачу о распространении волн на поверхности жидкости, заключённой в бассейне, имеющем форму круглого цилиндра. В работах по теории распространения тепла в твёрдых телах и в жидкостях Остроградский получил дифференциальные уравнения распространения тепла и одновременно пришёл к ряду важнейших результатов в области математического анализа: нашёл формулу преобразования интеграла по объёму в интеграл по поверхности (Остроградского формула), ввёл понятие сопряжённого дифференциального оператора, доказал ортогональность собственных функций данного оператора и сопряжённого, установил принцип разложимости функций в ряд по собственным функциям и принцип локализации для тригонометрических рядов. Теория распространения тепла в жидкости фактически впервые была построена Остроградским; занимался также вопросами теории упругости, небесной механики, теории магнетизма и др.
       Установленная Остроградским (1828) формула преобразования интеграла по объёму в интеграл по поверхности была обобщена им (1834) на случай n-кратного интеграла. При помощи этой формулы Остроградский нашёл вариацию кратного интеграла. Остроградский дал (1836, опубл. 1838) вывод правила преобразования переменных интегрирования в двойных и тройных интегралах, метод интегрирования рациональных функций - выделение рациональной части интеграла (т. н. Остроградского метод). Важные результаты были получены Остроградским в теории дифференциальных уравнений, приближённом анализе.
       В теоретической механике Остроградский принадлежат фундаментальные результаты, связанные с развитием принципа возможных перемещений, вариационных принципов механики, а также с решением ряда частных задач; Остроградским построена (1854) общая теория удара. В 40-х гг. 19 в. общий вариационный принцип почти одновременно был высказан для консервативных систем У. Гамильтоном и для неконсервативных систем Остроградским. В "Мемуаре о дифференциальных уравнениях, относящихся к проблеме изопериметров" (1850) Остроградский обобщил эти результаты на общую изопериметрическую задачу вариационного исчисления. Большой интерес для своего времени имели работы Остроградского по теории движения сферических снарядов в воздухе и выяснению влияния выстрела на лафет орудия.
    Остроградский был передовым учёным, стоял на позициях естественнонаучного материализма. Критерием ценности математических исследований для Остроградского служила практика, возможность использовать полученные результаты в практической деятельности. Характерны в этом отношении его исследования по теории вероятностей. Одно из них, положившее начало статистическому методу браковки, проведено им с целью облегчения работы по проверке товаров, поставляемых армии. Остроградскому принадлежит также ряд популярных статей, педагогических исследований и превосходных для своего времени учебников. Остроградский был членом многих иностранных академий.

Метод Остроградского (впервые предложен в 1844) - метод выделения рациональной части неопределённого интеграла:

где Q(x) - многочлен степени n, имеющий кратные корни, а Р(х) - многочлен степени t =< n - 1.

Метод Остроградского позволяет алгебраическим путём представить такой интеграл в виде суммы двух слагаемых, из которых первое является рациональной функцией переменного х, а второе рациональной части не содержит. Имеет место равенство:

где Q1, Q2, P1, Р2 - многочлены степеней соответственно n1, n2, m1, m2, причём n1+n2=з, m1=<n1-1,
t2=<n2-1 и многочлен Q2(x) не имеет кратных корней. Многочлен Q1(x) является наибольшим общим
делителем многочленов Q(x) и (d/dx)*Q(x), и, следовательно, явное выражение Q1(x) можно найти, например, с помощью алгоритма Евклида. Дифференцируя правую и левую части (1), получим тождество

Тождество (2) позволяет найти явное выражение многочленов P1(x) и Р2(х) неопределённых коэффициентов методом Остроградского.


Формула Остроградского - формула, дающая преобразование интеграла, взятого по объёму Q,
ограниченному поверхностью Е, в интеграл, взятый по этой поверхности:

здесь X, Y, Z - функции точки (х, у, z), принадлежащей трёхмерной области Q. Формула  Остроградского найдена М. В. Остроградским в 1828 (опубликована в 1831). В векторной форме формула Остроградского имеет вид:

где р - вектор поля, заданного в области Q; dt - элемент объёма; n - единичный вектор внешней нормали к поверхности 2. В гидродинамическом истолковании формула  Остроградского устанавливает
равносильность двух способов учёта того количества жидкости, которое вытекает из оболочки E в единицу времени: 1) исходя из "производительности" точечных источников, заполняющих область Q (левая часть равенства); 2) исходя из скоростей частиц жидкости в момент их прохождения через оболочку 2 (правая часть равенства). Формула была дана Остроградским (1834, опубликована в 1838) также и в более общем виде- для интеграла, распространённого на к-мерную область.
 

СТАТЬИ ПО ТЕМЕ

Гнеденко Б.В., Марон И.А. ОЧЕРК ЖИЗНИ, НАУЧНОГО ТВОРЧЕСТВА И ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ М. В. ОСТРОГРАДСКОГО

Гнеденко Б. Михаил Васильевич Остроградский

Формула Остроградского